Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 32

Olá, meu amigoooo. Vamos resolver juntos essa atividade.

A gente tem a curva parametrizada:

E a gente quer calcular a área delimitada por essa curva. A, vale lembrar que a nossa curva está delimitada pelo eixo também como diz o enunciado.

A área de uma curva é dada por

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Antes de iniciarmos, vamos olhar o gráfico gerado pela nossa curva, é uma excelente forma de identificar os intervalos de integração:

Então a gente ver que a curva toca em em 2 pontos, e são eles que fazem parte do nosso limite de integração.

Para encontrar o intervalo de integração, vamos pensar o seguinte:

Queremos a área entre a curva e o eixo . Só que o eixo é justamente onde o , assim:

Podemos dar uma manipulada:

E encontramos duas soluções:

Esses são nossos limites de integração!!

Sobre os outros termos da integral, o é a própria parametrização:

Para achar é só pegar a parametrização do e derivar em relação a :

Derivando:

Aí aqui a gente substitui tudo na integral e calcula, vamos relembrar a fórmula geral:

Agora substituindo:

Vamos dar uma organizadinha, abrir esse parênteses pra ficar melhor:

Agora calculando:

Aplicando os limites de integração:

Resolvendo:

Arrumando as raízes:

Agora ficamos com:

Aweeee!