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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 42

Centro de massa e momentos de inércia para fios com densidade variável Encontre o centro de massa e os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados de um fio fino que se encontra ao longo da curva

r ( t ) = t i + 2 2 3 t 3 / 2 j + t 2 2 k ,   0 ≤ t ≤ 2

se a densidade for δ = 1 / ( t + 1 ) .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Ao resolvermos essa questão utilizaremos as integrais de linha apresentadas na teoria do livro, na página 365 , tabela 16.1 . Veja seguir.

Passo 2

Para encontrarmos o centro de massa de um fio estendido sobre a curva r → ( t ) = t i → + 2 2 3 t 3 / 2 j → + t 2 2 k → , com 0 ≤ t ≤ 2 , cuja densidade é dada por δ = 1 ( t + 1 ) Primeiramente temos que encontrar o módulo do vetor posição d r ‾ d t .Assim, o vetor posição é apresentado no enunciado como segue: r → ( t ) = t i → + 2 2 3 t 3 / 2 j → + t 2 2 k → Vamos calcular a sua derivada: d r → d t = i → + 2 t j → + t k → Calcule agora o módulo de d r → d t : d r → d t = 1 2 + ( 2 t ) 2 + ( t ) 2 = 1 + 2 t + t 2 = ( 1 + t ) 2 = 1 + t

Passo 3

Antes de calcular as coordenadas do centro de massa você precisa encontrar a massa do fio.O cálculo de M é dado através da integral M = ∫ a b   δ ( x , y , z ) d r → d t d t substituindo os valores de δ = 1 ( t + 1 ) e d r → d t = 1 + t

M = 1 t + 1 ( 1 + t ) d t = ∫ 0 2   d t = [ t ] 0 2 = 2

Para encontrarmos as coordenadas do centro de massa precisamos ainda encontrar os primeiros momentos em relação aos eixos de coordenadas.

M y z = ∫ C     x δ d r → d t d t = ∫ 0 2     t 1 t + 1 ( 1 + t ) d t = ∫ 0 2     t d t = t 2 2 0 2 = 2 M x z = ∫ C     y δ d r → d t d t = ∫ 0 2     2 2 3 t 3 / 2 d t = 4 2 15 t 5 / 2 0 2 = 32 15 M x y = ∫ C     z δ d r → d t d t = ∫ 0 2     t 2 2 d t = t 3 6 0 2 = 4 3

Passo 4

Assim, temos que as coordenadas do centro de massa do fio serão:

x ‾ = M y z M = 2 2 = 1 ,   y ‾ = M x z M = 32 15 2 = 16 15 ,   z ‾ = M x y M = 4 3 2 = 4 6 = 2 3

Calculemos agora o momento de inércia do fio em relação aos eixos coordenados.

I x = ∫ C     y 2 + z 2 δ d r → d t d t = ∫ 0 2     2 2 3 t 3 / 2 2 + t 2 2 2 1 t + 1 ( t + 1 ) d t = ∫ 0 2     8 9 t 3 + t 4 4 t + 1 t + 1 d t   = 2 9 t 4 + t 5 20 0 2 = 32 9 + 32 20 = 232 45 I y = ∫ C     x 2 + z 2 δ d r → d t d t = ∫ 0 2     ( t ) 2 + t 2 2 2 1 t + 1 ( t + 1 ) d t = ∫ 0 2     t 2 + t 4 4 t + 1 t + 1 d t   = t 3 3 + t 5 20 0 2 = 8 3 + 32 20 = 64 15

Assim, chegaremos ao final do exercício como segue:

I z = ∫ C     x 2 + y 2 δ d r → d t d t = ∫ 0 2     ( t ) 2 + 2 2 t 3 / 2 3 2 1 t + 1 ( t + 1 ) d t = ∫ 0 2     t 2 + 8 t 3 9 t + 1 t + 1 d t   = t 3 3 + 2 t 4 9 0 2 = 8 3 + 32 9 = 56 9

Resposta

Resposta nos passos.

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