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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 22

Encontre a integral de linha de ƒ(x, y) = x – y + 3 ao longo da

curva r(t) = (cos t)i + (sen t)j, 0 ≤ t ≤ 2p.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sendo x = c o s ⁡ t e y = s e n ⁡ t , a função será: f ( x , y ) = ( c o s ⁡ t ) - ( s e n ⁡ t ) + 3 e d r → d t = ( - s e n ⁡ t ) i → + c o s ⁡ t j → c o m ⁡ 0 ≤ t ≤ 2 π Logo, o módulo de d r → d t será dado por:

d r → d t = ( - s e n ⁡ t ) 2 + ( c o s ⁡ t ) 2 = 1

Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ - 1 2   f ( x , y ) d r ‾ d t d t

Passo 2

Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r → d t calculados anteriormente, teremos então o resultado desse exercício que é:

∫ 0 2 π   ( c o s ⁡ t - s e n ⁡ t + 3 ) 1 d t = [ s e n ⁡ t + c o s ⁡ t + 3 t ] 0 2 π = 6 π

Resposta

Resposta nos passos.

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9. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = r → r → 3 , r → = x , y , z , ao longo dos seguintes caminhos:(a) elipse x 2 4 + y 2 = 4 , z=2, uma volta completa no sentido anti-horário
15. Calcular o trabalho realizado pela força f → = 2 x + z + 4 i → + y 2 - 3 z - 1 j → + ( x - 3 y + z ) k → sobre uma partícula, ao longo de C, de A(2,4,2) a B(2,0,0), onde C é:(b) a parábola y = z 2
9. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = r → r → 3 , r → = x , y , z , ao longo dos seguintes caminhos:(b) quadrado x + y = 1 ,z = 0 , no sentido anti-horário;
15. Calcular o trabalho realizado pela força f → = 2 x + z + 4 i → + y 2 - 3 z - 1 j → + ( x - 3 y + z ) k → sobre uma partícula, ao longo de C, de A(2,4,2) a B(2,0,0), onde C é:(a) o segmento de reta
13. Determinar o trabalho realizado pela força f → = e x + y z , x z , x y para deslocar uma partícula ao longo da intersecção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 4 e z = x 2 + y 2 do ponto A(1,1, 2 ) a