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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 25

Medidor parabólico de chuva Uma vasilha tem o formato

do gráfico de z = x2 + y2 de z = 0 a z = 10 pol. Você planeja

calibrar a vasilha para transformá-la em um medidor de chuva. Que altura na vasilha corresponderia a 1 pol. de chuva? E

3 pol. de chuva?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você sabe como é um medidor de chuva? Considere uma tigela com a forma de um gráfico de z = x 2 + y 2 de z = 0 até z = 10 . Pretendemos calibrar essa tigela para fazer um medidor de chuva. Qual a altura na tigela corresponderia a 1 in. de chuva? E 3 in.?Vamos para os cálculos!

Passo 2

Começaremos calculado o volume da tigela para certa altura h :

V = ∫ - h h     ∫ - h - x 2 h - x 2     ∫ x 2 + y 2 h     d z d y d x V = ∫ - h h     ∫ - h - x 2 h - x 2     h - x 2 - y 2 d y d x V = ∫ 0 2 π     ∫ 0 h     h - r 2 r d r d θ V = ∫ 0 2 π     h 2 2 - r 4 4 0 h d θ V = ∫ 0 2 π     h 2 4 d θ V = h 2 π 2

Passo 3

Como a parte de cima da tigela possui uma área de 10 π , então, para calibrar devemos comparar com um cilindro circular cuja seção transversal possui área 10 π varrendo z = 0 até z = 10 . Se tal cilindro contém h 2 π 2 polegadas cúbicas de área, a profundidade que teríamos seria:

10 π w = h 2 π 2 w = h 2 20

Passo 4

Assim, para w = 1 in. de chuva temos h = 20 in. Para w = 3 in. temos h = 60 in.

Resposta

Resposta nos passos.

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