Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 13
- Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximo e mínimo local de .
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
,
Passo 1
Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Deveremos aqui trabalhar com alguns pontos importantes da nossa função.
Definida entre .
Primeiro, queremos os intervalos onde ela é crescente e decrescente.
Ela vai ser crescente quando a sua derivada for positiva
E decrescente quando sua derivada for negativa
Depois queremos os máximos e mínimos locais.
Para isso encontramos os pontos críticos da função, que é onde a derivada é igual a zero.
E então verificamos, se antes do ponto a derivada é positiva e depois negativa, é um ponto de máximo, pois a função crescia, chegou no máximo e depois decresce.Se for o contrário, o ponto é de mínimo, pois aí a função decrescia, chegou no mínimoe então passou a crescer.
Por fim, para encontrar os intervalos de concavidade, vamos derivar de novo, para encontrar a segunda derivada.
Se a segunda derivada for positiva, a função é côncava para cima:
Se a segunda derivada for negativa, a função é côncava para baixo:
E quando a segunda derivada é nula, isso indica um ponto de inflexão:
Bora lá?
Passo 2
Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:
Vamos usar as regras de derivação da função trigonométrica:
Vamos agora aplicar:
Agora vamos encontrar em quais pontos essa derivada é zero, para fazer um estudo de sinais depois:
Como está entre e , temos apenas dois valores possíveis para essa tangente.
Onde o sinal de é positivo nossa função será crescente e se o sinal de for negativo então a função será decrescente.
Passo 3
Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de deve mudar nesse ponto.
Vemos que em e há mudança do sinal de , e como em o sinal muda de positivo para negativo, esse é um ponto de máximo local, já em o sinal muda de negativo para positivo, então ele é um ponto de mínimo local.
Para achar os valores é só substituir os valores em :
Passo 4
Para achar os intervalos de concavidade devemos achar e analisar os sinal:
Igualando a zero para fazer um estudo de sinais, temos:
Entre , só temos duas respostas para essa tangente que são.
Fazendo um estudo de sinais temos:
Para achar os pontos de inflexão devamos fazer que já fizemos em cima:
Para garantir que e são pontos de inflexão, devemos ver se e existem:
Temos que os pontos de inflexão são e .
Resposta
- Crescente nos intervalos e e decrescente no intervalo .
- é máximo local e é mínimo local.
- Concavidade para baixo nos intervalos e e para cima no intervalo .
e são pontos de inflexão.