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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 9

A meia vida do césio-137 é 30 anos. Suponha que tenhamos uma amostra de 100 mg.

(a) Encontre a massa remanescente após t anos.

(b) Quanto da amostra restará depois de 100 anos?

(c) Depois de quanto tempo restará apenas 1 mg?

Passo 1

E aí, bora resolver esse problema! Temos 100   m g   de césio-137, que é um elemento radioativo com meia vida de 30 anos, isso significa que a cada 30 anos sua massa caí pela metade. Ou seja: 30   a n o s → 50   m g

60   a n o s → 25   m g

90   a n o s → 12,5   m g

…  

A primeira coisa que o enunciado pede é uma fórmula que relacione a massa do césio, m , com o tempo t ! Vamos nessa!

Como a taxa de decaimento relativa é sempre constante, podemos relacionar massa do césio-137 com uma equação exponencial do tipo:

y t = y 0 e k t

Para o nosso caso:

m t = m 0 e k t

Sabemos que quando t = 30 anos a massa remanescente do césio-137 é a metade da massa inicial, ou seja, m 30 = m 0 2 . Logo, podemos aplicar na equação exponencial:

m 30 = m 0 e k 30

m 0 2 = m 0 e k 30

Isolando a exponencial:

e k 30 = 1 2 ⇒ ln ⁡ e k 30 = ln ⁡ 1 2

30 k = ln ⁡ 1 2

k = ln ⁡ 1 2 30 = - ln ⁡ 2 30

Logo, a função para a massa remanescente depois de t anos é:

  m t = 100 e - ln ⁡ 2 30 t

Ou, simplificando:

m t = 100 2 t 30

Passo 2

Na letra (b) é o momento da gente aplicar a fórmula que terminamos de achar pra calcular a massa da amostra após 100 anos:

m t = 100 2 t 30

m 100 = 100 2 100 30 = 100 2 10 / 3

m 100 = 9 , 92   m g

Logo, a massa após 100 anos é de 9 , 92   m g

Passo 3

Pra acabar, queremos saber quantos anos tem que passar pra massa ser de apenas 1   m g ! Para isso fazemos:

m t = 1 = 100 2 t 30

2 t 30 = 100 ⇒ ln ⁡ 2 t 30 = ln ⁡ 100

t 30 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 100 ⇒ t 30 = ln ⁡ 100 ln ⁡ 2

t = 30 × ln ⁡ 100 ln ⁡ 2 = 199,3156857 (Anos)

Logo, a massa reduzirá a 1 mg em aproximadamente 199,3 anos. É muito tempo!

Resposta

(a) m t = 100 2 t 30

(b) A massa após 100 anos é de 9,92 mg.

(c) A massa reduzirá a 1 mg em aproximadamente 199,3 anos.

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