Encontre: (a) os intervalos nos quais f é crescente, (b) os intervalos nos quais f é decrescente, (c) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo, (e) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.

20. f(x) = x^4 - 5x^3 - 9x^2

Passo 1

Podemos responder sem grandes dificuldades todos os itens apenas analisando o gráfico:

Passo 2

(a)Aqui, pra determinarmos o ponto em que f começa a ser crescente, precisamos encontrar os pontos em que a derivada da função se anula (pontos de mínimo e de máximo).

A partir disso, visualizando o gáfico, determinamos os pontos iniciais dos intervalos em que a função cresce. Teremos:

f ' x = 4 x 3 - 15 x 2 - 18 x ≡ 0

= 4 x 2 - 15 x - 18 = 0

x = 15 ± 225 + 4 ∙ 4 ∙ 18 8

x 1 = 0

x 2 ≅ 4,71

x 3 ≅ - 0,96

Ao observar pelo gráfico então, a função passa a crescer em x 3 ≅ - 0,96   até x = 0 , e volta a crescer depois em x 2 ≅ 4,71 até (+) infinito. São os intervalos:

- 0,96 ,   0 ∪ ( 4,71 ,   + ∞ )

Passo 3

(b) f é decrescente desde (-) infinito até x = - 0,96 , e volta a decrescer entre x = 0 , e x = 4,71 . O intervalo será:

- ∞ ,   - 0,96 ∪ ( 0 ,   4,71 )

Passo 4

(c) f tem concavidade voltada pra cima desde (-) infinito até o primeiro ponto de inflexão em x = - 0 , 5 . Daí, volta a ter concavidade voltada pra cima a partir do segundo ponto de inflexão em x = 3 até (+) infinito. Logo, o intervalo será:

- ∞ ,   - 0 , 5 ∪ ( 3 ,   + ∞ )

Passo 5

(d) f é côncava pra baixo entre os pontos de inflexão x = - 0 , 5 e x = 3 . Logo, o intervalo é

( - 0 , 5 ,   3 )

Passo 6

(e)Os pontos de inflexão se calculam igualando a derivada segunda da função a zero. Teremos:

f ' ' x = 12 x 2 - 30 x - 18 ≡ 0

2 x 2 - 5 x - 3 = 0

x = 5 ± 25 + 4 ∙ 2 ∙ 3 4

x 1 = 3

x 2 = - 0,5

São esses os pontos em que a função muda de concavidade.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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