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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 42

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 2 + x - ln ⁡ ( 1 + x ) ]

Passo 1

Bom galera, primeiro vamos começar lembrando uma propriedade dos logaritmos, que é a propriedade da divisão:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Passo 2

Beleza, se a gente usar essa propriedade dos logaritmos, a gente vai facilitar nosso cálculos:

lim x → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 2 + x - ln ⁡ ( 1 + x ) ] = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + x 1 + x

Passo 3

Agora, a gente pode colocar em evidência os x da fração e eliminar os termos encima e em baixo:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 + x 1 + x → lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x + 1 x 1 x + 1

→ lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 1 x + 1

Passo 4

Continuando, podemos aplicar o limite nas frações dentro do parênteses pra eliminar porque a gente sabe que:

lim x → ∞ ⁡ a x b = 0

Então a gente aplica isso no limite:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 1 x + 1 → lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 0 + 1 0 + 1

→ lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 1

Passo 5

Por fim a gente aplica só aplica o limite:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 1 = 0

Resposta

lim x → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 2 + x - ln ⁡ ( 1 + x ) ] = 0

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