Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x

Passo 1

Opaa! Temos o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x

Pra calcular esse carinha a gente vai usar o Teorema do Confronto, então vamos refrescar a memória:

Se f x ≤ g x ≤ h ( x ) quando x esta próximo de a e lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ h x = L , então:

lim x → a ⁡ g x = L

Passo 2

Faz sentido usarmos esse teorema aqui porque:

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

Então podemos escrever:

e - 2 x ( - 1 ) ≤ e - 2 x cos ⁡ x ≤ e - 2 x ( 1 )

Agora vamos calcular os limites das extremidades:

lim x → ∞ ⁡ - e - 2 x = lim x → ∞ ⁡ - 1 e 2 x = 0

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x = lim x → ∞ ⁡ 1 e 2 x = 0

Então:

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x = 0

Aweee!!!

Resposta

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x = 0

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