Uma partícula se move ao longo de uma reta com deslocamento s ( t ) , velocidade v ( t ) e aceleração a ( t ) . Mostre que a t = v t d v d s Explique a diferença entre os significados das derivadas d v / d t e d v / d s .

Enunciado

E aí, pessoal! 😎

Nesse problema temos que mostrar que uma partícula se move ao longo de uma reta com deslocamento , velocidade e aceleração segue a seguinte equação.

Tem ideia do que fazer? 😬

Este é um dos primeiros problemas que o aluno faz quando começa a estudar cinemática com cálculo nos cursos de física!!!

Em um movimento podemos parametrizar a função velocidade tanto como função do tempo como função da posição (que também é função do tempo).

A aceleração é a derivada da velocidade com relação ao tempo (), enquanto que é a derivada de com relação à parametrização pelo deslocamento.

Para provar a relação pedida, vamos escrever como função de e derivar com relação a pela regra da cadeia.

Veja só! 😎

A função velocidade pode ser escrita como . Vale também lembrar que a aceleração é a derivada temporal da velocidade.

Assim, pela regra da cadeia:

Mas sabemos que , então

Foi muito dificil? Responde Aí! 🤔

Demonstração.