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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 61 a

Determine o limite underset(x -> 0^+)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))]

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f (x) = (1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3))) quando nos aproximamos de 0 pela direita, ou seja por valores positivos.

Como estamos numa soma, podemos usar a regra da subtração “O limite da soma é a soma dos limites”:

underset(x -> 0^+)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = underset(x -> 0^+)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) + underset(x -> 0^+)(l i m) (2)/((x - 1)^((2)/(3)))

Pela regra do quociente nas parcelas do limite, temos:

underset(x -> 0^+)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = underset(x -> 0^+)(l i m) (1)/(x^((2)/(3))) + underset(x -> 0^+)(l i m) (2)/((x - 1)^((2)/(3))) = (underset(x -> 0^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 0^+)(l i m) x^((2)/(3))) + (underset(t -> 0^+)(l i m) 2)/(underset(x -> 0^+)(l i m) (x - 1)^((2)/(3)))

Passo 2

Se ligue que 2 não depende de x, então underset(x -> 0^+)(l i m) 2 = 2 , pelo mesmo motivo underset(x -> 0^+)(l i m) 1 = 1 . Substituindo os resultados nessa bagaçada, ficamos :

(underset(x -> 0^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 0^+)(l i m) x^((2)/(3))) + (underset(x -> 0^+)(l i m) 2)/(underset(x -> 0^+)(l i m) (x - 1)^((2)/(3))) = (1)/(0) + (2)/(1)

Ps: Não escreve o (1)/(0) na sua prova, man senão teu professor vai te meter um zero. Fiz isso aqui so pra você perceber que o numerador não se anula, enquanto o denominador se anula, isso significa dizer que a nossa expressão tende a oo . Vamos analisar o ‘sinal’ desse oo .

Passo 3

Vamos olhar primeiro para essa parcela do limite:

underset(x -> 0^+)(l i m) x^((2)/(3))

Como estamos próximo a zero pela direita, então estamos com valores positivos, daí

(1)/(0) = oo

Dando uma roubadinha, poderíamos pensar assim:

oo + 2

Como oo é muito grande e só estamos adicionando 2 a ele. Então, isso me retornaria algo grade com sinal negativo. Ou seja,

oo + 2 = oo

Beleza?

Passo 4

Mas como eu disse, não é aquilo que você vai escrever na prova, então veja só como você botaria lá:

underset(x -> 0^+)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = oo

Resposta

underset(x -> 0^+)(l i m) [(1)/(x^((2)/(3))) + (2)/((x - 1)^((2)/(3)))] = oo

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