Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 22
Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Eaeee, tranquilinho? Bom... O enunciado nos deu o seguinte limite:
Queremos saber se esse limite existe ou não.
Para resolver isso, a gente vai testar o limite por alguns caminhos diferentes:
- Fazendo e como constantes e resolvendo o limite para ;
- Fazendo e como constantes e resolvendo o limite para ;
- Fazendo e como constantes e resolvendo o limite para ;
- Através do caminho .
Se, por cada um desses caminhos os limites forem iguais, então temos que analisar de uma forma mais rigorosa ao comparar os resultados a fim de verificar se ele realmente existe.
Por outro lado, se por pelo menos dois caminhos diferentes os limites derem diferentes, é porque o limite não existe!
Vamos lá então? 😉
Passo 2
Vamos primeiro tratar e como constantes e resolver o limite para , ou seja:
Colocando as constantes para fora do limite, temos:
Aplicando o limite, temos:
Passo 3
Agora vamos tratar e como constantes e resolver o limite para , ou seja:
Colocando as constantes para fora do limite, temos:
Aplicando o limite, temos:
Passo 4
Agora vamos tratar e como constantes e resolver o limite para , ou seja:
Colocando as constantes para fora do limite, temos:
Aplicando o limite, temos:
Passo 5
Agora vamos fazer para , ou seja:
Aplicando o limite, temos:
Como todos os limites deram resultados iguais, então o limite pode ser .
Passo 6
Para verificar se a função tende a independentemente do caminho escolhido, vamos utilizar a desigualdade:
Para , e suficientemente pequenos, tanto , quanto são positivos e maiores que zero.
Assim, considerando:
Vamos obter:
Como e quando , então temos que:
E
Logo, podemos afirmar que, quando :
Então o limite existe e é igual a zero!!! 😉