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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 10

Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + sen 2 ⁡ y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + sen 2 ⁡ y 2 x 2 + y 2

Caso ele não exista, devemos demonstrar.

De cara já podemos ver que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Dessa forma, para verificarmos se o limite existe, vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x e f ( x , y ) ao longo da reta y = x .

Se tivermos resultados iguais, então o limite existe!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x :

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = x 2 + s e n 2 0 2 x 2 + 0 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = x 2 2 x 2

Cortando os termos iguais, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = 1 2

Passo 3

Agora vamos aproximar f ( x , y ) ao longo da reta x = y :

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = x 2 + sen 2 ⁡ x 2 x 2 + x 2

Somando os denominadores:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = x 2 + sen 2 ⁡ x 3 x 2

Separando em duas frações, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = 1 3 + 1 3 sen 2 ⁡ x x 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = 1 3 + 1 3 sen ⁡ x x 2

Sabemos que lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 0 , portanto, aplicando o limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = 1 3 + 1 3 1 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = 2 3

Como f ( x , y ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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