Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 47
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções nos Exercícios 41-48 não têm limite quando .
Passo 1
Oi galerinha, vem comigo! Primeiramente vamos relembrar a definição para o teste dos dois caminhos para não existência de um limite:
Se quando ao longo do caminho e quando ao longo do caminho , com , então não existe.
Antes de fazermos nosso exercício, vou mostrar um exemplo de um limite que não existe:
Primeiro vamos aproximar de ao longo do eixo , tomando :
Então quando ao longo do eixo . Agora vamos aproximar ao longo do eixo , colocando , assim:
Então quando ao longo do eixo . Como tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não existe.
Passo 2
Então, vamos para o nosso exercício, temos a seguinte função:
O limite não pode ser encontrado por meio de substituição direta, o que nos dá a forma indeterminada . Ao longo da curva , temos:
Portanto:
Esse limite varia com o caminho de aproximação. Se se aproxima de , ao longo da parábola , então e o limite é . Se se aproxima de , ao longo do eixo , e o limite é . Pelo teste dos dois caminhos não tem limite quando se aproxima de .
Resposta
Considerar os caminhos , uma constante, .