Encontre o limite, se existir.

lim x→0 (sen(x) * sen(1/x))

Passo 1

Sabemos que todos os valores de seno independente do ângulo permanece entre -1 e 1, então podemos fazer a seguinte afirmação:

- 1 <= sin (1)/(x) <= 1

Passo 2

Agora vamos multiplicar toda a expressão por x^2 para termos a função dada no enunciado.

(- 1 <= sin (1)/(x) <= 1) * sin x

- sin x <= sin x sin (1)/(x) <= sin x

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

underset(x -> 0)(lim) - sin x <= underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) <= underset(x -> 0)(lim) sin x

0 <= underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) <= 0

Como underset(x -> 0)(lim) - sin x que é menor que underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) e underset(x -> 0)(lim) sin x que é maior que underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) convergem para 0, então pelo teorema do “sanduíche” underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) é igual 0.

Resposta

underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) = 0

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