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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 32

Encontre o limite, se existir.

underset(x -> 0)(l i m) sin x sin (1)/(x)

Passo 1

Sabemos que todos os valores de seno independente do ângulo permanece entre -1 e 1, então podemos fazer a seguinte afirmação:

- 1 <= sin (1)/(x) <= 1

Passo 2

Agora vamos multiplicar toda a expressão por x^2 para termos a função dada no enunciado.

(- 1 <= sin (1)/(x) <= 1) * sin x

- sin x <= sin x sin (1)/(x) <= sin x

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

underset(x -> 0)(lim) - sin x <= underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) <= underset(x -> 0)(lim) sin x

0 <= underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) <= 0

Como underset(x -> 0)(lim) - sin x que é menor que underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) e underset(x -> 0)(lim) sin x que é maior que underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) convergem para 0, então pelo teorema do “sanduíche” underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) é igual 0.

Resposta

underset(x -> 0)(lim) sin x sin (1)/(x) = 0

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Dado: 1 - cos^2 x = f (x) = x^2 para todo x no intervalo aberto (- (1)/(2) pi , (1)/(2) pi) . Ache underset(x - 0)(lim) f (x) .
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Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite. lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x 3
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