Enunciado

Dado:

1 - cos^2 x <= f (x) <= x^2 para todo x no intervalo aberto (- (1)/(2) pi , (1)/(2) pi) . Ache underset(x -> 0)(lim) f (x) .

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos^2 x) <= underset(x -> 0)(lim) f (x) <= underset(x -> 0)(lim) x^2

1 - 1 <= underset(x -> 0)(lim) f (x) <= 0^2

0 <= underset(x -> 0)(lim) f (x) <= 0

Passo 2

Como underset(x -> 0)(lim) (1 - cos^2 x) que é menor que underset(x -> 0)(lim) f (x) e underset(x -> 0)(lim) x^2 que é maior que underset(x -> 0)(lim) f (x) convergem para 0, então pelo teorema do “sanduíche” underset(x -> 0)(lim) f (x) é igual 0.

Resposta

underset(x -> 0)(lim) f (x) = 0

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Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que lim x → 0 ⁡ x 3 + x ² sen ⁡ π x = 0 ² Ilustre, fazendo os gráficos, na mesma tela, das funções f , g e h (como no Teorema do Confronto).
Se f x = x 2s exér a c i o n a l 0 s exéi r r a c i o n a l é é demonstre que lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0 .
Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim x → 0 ⁡ ( x 2 cos ⁡ 20 π x = 0 Ilustre, fazendo os gráficos das funções f x = - x ² ², g x = x ² cos ⁡ 20 π x ² e h x = x ² ² na mesma tela.
Prove: lim x → p ⁡ f x = L ⇒ lim x → p ⁡ f x = L (Sugestão: verifique que f x - L ≤ f x - L e aplique o teorema do confronto.)