Dado:

1 - cos^2 x <= f (x) <= x^2 para todo x no intervalo aberto (- (1)/(2) pi , (1)/(2) pi) . Ache underset(x -> 0)(lim) f (x) .

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos^2 x) <= underset(x -> 0)(lim) f (x) <= underset(x -> 0)(lim) x^2

1 - 1 <= underset(x -> 0)(lim) f (x) <= 0^2

0 <= underset(x -> 0)(lim) f (x) <= 0

Passo 2

Como underset(x -> 0)(lim) (1 - cos^2 x) que é menor que underset(x -> 0)(lim) f (x) e underset(x -> 0)(lim) x^2 que é maior que underset(x -> 0)(lim) f (x) convergem para 0, então pelo teorema do “sanduíche” underset(x -> 0)(lim) f (x) é igual 0.

Resposta

underset(x -> 0)(lim) f (x) = 0

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