Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 37
Prove que a função secante é contínua em seu domínio.
Passo 1
Para provarmos que a função secante é contínua em seu domínio precisamos mostrar que se for um número real qualquer dentro de seu domínio, temos:
Para provar precisamos usar da seguinte relação trigonométrica: , que pode rescrever nosso limite da seguinte maneira:
Passo 2
Agora basta provar a função cosseno como continua também se for um número real qualquer, enquanto o 1 por ser uma constante podemos considera-lo como uma função contínua. Assim se individualmente as duas funções são consideradas contínuas, a sua combinação como uma função racional também será. Para provar a continuidade vamos usar da seguinte relação:
Passo 3
Agora vamos provar que a função cosseno é contínua se for um número real qualquer.
pode ser entendido como a seguinte equação:
Assim está provado que a função cosseno é contínua.
Resposta
Como as funções 1 e cosseno são contínuas se for um número real qualquer, a combinação das duas funções como uma função racional é contínua. Então a função secante é contínua desde que faça parte de seu domínio e então .