Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite.

lim x → - 2 ⁡ g x ,   s e   g x - 3   < 5 x + 2 2   para todo x .

Passo 1

Pelos dados do enunciado podemos fazer a seguinte afirmação:

0 ≤ g x - 3 < 5 x + 2 2

Passo 2

Agora vamos tirar o módulo de g x - 3 e somar 3 em toda a expressão.

- 5 x + 2 2 < g x - 3 < 5 x + 2 2

- 5 x + 2 2 + 3 < g x < 5 x + 2 2 + 3

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a - 2 em toda a expressão e resolvemos os limites.

lim x → - 2 ⁡ - 5 x + 2 2 + 3 < lim x → - 2 ⁡ g x < lim x → - 2 ⁡ 5 x + 2 2 + 3

- 5 - 2 + 2 2 + 3 < lim x → - 2 ⁡ g x < 5 - 2 + 2 2 + 3

- 5 0 2 + 3 < lim x → - 2 ⁡ g x < 5 0 2 + 3

3 < lim x → - 2 ⁡ g x < 3

Como lim x → - 2 ⁡ - 5 x + 2 2 + 3 que é menor que lim x → - 2 ⁡ g x e lim x → - 2 ⁡ 5 x + 2 2 + 3 que é maior que lim x → - 2 ⁡ g x convergem para 3 , então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → - 2 ⁡ g x é igual 3 .

Resposta

lim x → - 2 ⁡ g x = 3

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