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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 30

Encontre o limite

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😬

Bom, galera, nesse exercício estamos interessados em utilizar as propriedades e técnicas utilizadas para resolver limites para encontrar um valor para o limite da questão.

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x

Parece muito difícil? 👀

Como nosso x tende a - ∞ temos que dar um jeito de simplificar a raiz no numerador para facilitar nossa vida...

Pra isso podemos usar a técnica de multiplicação do conjugado.

Veja só! 😉

Passo 2

Para resolver esse limite, iremos multiplicar e dividir a função por x - x 2 + 2 x

lim x → - ∞ ⁡ ( x + x 2 + 2 x ) (   x - x 2 + 2 x )   x - x 2 + 2 x

Dessa forma, temos uma diferença de quadrados no numerador e podemos reescrever o limite da seguinte maneira

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - ( x 2 + 2 x ) 2   x - x 2 + 2 x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 - ( x 2 + 2 x )   x - x 2 + 2 x = lim x → - ∞ ⁡ - 2 x   x - x 2 + 2 x

Iremos agora multiplicar o numerador e o denominador por 1 x , ficando com

lim x → - ∞ ⁡ - 2 x   x - x 2 + 2 x = lim x → - ∞ ⁡ - 2 x x   ( x - x 2 + 2 x ) x = lim x → - ∞ ⁡ - 2 x x + x 1 + 2 x x

= lim x → - ∞ ⁡ - 2 1 + 1 + 2 x

Substituindo o valor do limite, temos que o termo 2 x tende a 0 já que temos um número relativamente pequeno sendo dividido por um número muito grande

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x = lim x → - ∞ ⁡ - 2 x   x - x 2 + 2 x = - 2 1 + 1 + 0

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x = - 2 1 + 1 = - 2 2

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x = - 1

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x = - 1

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Utilize as definições formais para provar a afirmação lim x → 3 ⁡ - 2 x - 3 2 =- ∞
Se f possui o valor constante f (x) = k , então underset(x - - oo)(l i m) f (x) = k .
Utilize as definições formais para provar a afirmação lim x → 0 ⁡ - 1 x 2 =- ∞
Utilize as definições do exercício 93 para provas que lim x → 0 +⁡ 1 x = ∞
Modifique a definição para atender ao caso underset(x - x_0^-)(lim) f (x) = - oo