Enunciado

Utilize as definições formais para provar a afirmação lim x → 0 ⁡ - 1 x 2 =   - ∞

Passo 1

Temos que calcular o limite da função, então é só aplicar aquelas propriedades né? Não! Temos que calcular o limite sem aplicar limite na função.

É estranho eu sei. Mas dando uma folheada nas páginas do livro, podemos encontrar a definição de limite no infinito. Mas não precisa ir lá procurar , vou te dizer aqui.

lim x x 0   f x =   - quando para todo - B < 0 ,     e xiste um δ > 0 , tal que x - x 0 < δ temos que f x < - B .

Sabendo que o limite é - ∞ , é preciso que encontremos um número δ , de maneira que para qualquer número B > 0   sempre que a distancia entra x e x 0 é menor que ele, f x < - B   .

Vamos pra as contas, acho que você vai entender melhor.

Precisamos que se x - 0 < δ

f x >   - B

Ou seja,

- 1 x 2 <   - B   ⇒   1 x 2 >   B     ⇒ x 2 < 1 B   ⇒ x < 1 B

x - 0 < δ   x < δ . Como δ é qualquer, podemos escolher, de maneira que funcione o nosso objetivo. Só ligar as coisas e escolher o δ certo.

Só tomar δ =   1 B   .

E agora é só escrever bonitinho assim para garantir o 10.

Dado B > 0 existe δ =   1 B   tal que sempre que x - 0 < δ , temos que

f x < - B

De fato,

x - 0 < δ   ⇒ x < 1 B   ⇒ x 2 < 1 B   ⇒   1 x 2 >   B   ⇒   - 1 x 2 <   - B     ⇒   f x < - B

Resposta

Dado B > 0 existe δ =   1 ϵ   tal que sempre que x - 0 < δ , temos que

f x < - B

De fato,

x - 0 < δ   ⇒ x < 1 B   ⇒ x 2 < 1 B   ⇒   1 x 2 >   B   ⇒   - 1 x 2 <   - B     ⇒   f x < - B

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Esboce o gráfico de um exemplo de função f que satisfaça todas as condições dadas. Lim x → 1 ⁡ f x = 3 , lim x → 4 - ⁡ f x = 3 ,lim x → 4 + ⁡ f x = - 3 f 1 = 1f 4 = - 1
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 0 ⁡ f x lim x → 3 - ⁡ f x lim x → 3 + ⁡ f x lim x → 3 ⁡ f x f ( 3
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5
Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim x → a ⁡ f ( x ) existe: f x = { 2 - x ,s ex- 1 x ,s e - 1 ≤ x ≤ 1 x - 1 2 ,s ex1
Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais). lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x + x 2 x = 1 ,0,5 ,0,1 ,0,05