Se f possui o valor constante f(x) = k , então lim (x -> -∞) f(x) = k

Passo 1

Temos que calcular o limite da função, então é só aplicar aquelas propriedades né? Não! Temos que calcular o limite sem aplicar limite na função.

É estranho eu sei. Mas dando uma folheada nas páginas do livro, podemos encontrar a definição de limite no infinito. Mas não precisa ir lá procurar , vou te dizer aqui.

Dizemos que f ( x ) possui o limite L quando x tende a infinito e escrevemos

l i m x → ∞ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , existir um número correspondente M > 0 de modo que para todo x .

x > M ⇒ f x - L < ϵ .

Pra poder fazer as contas, é preciso que você suspeite de quanto seja o limite, no nosso caso, a questão pede que mostremos que o limite é k , então devemos substituir o L   da definição por k .

Ou seja, devemos encontrar um N tal que para qualquer tamanho ϵ que alguém me dá, e sempre que   x < N a distância entre f x e k é menor que o tamanho dado.

Por exemplo, se alguém me der um tamanho ϵ = 1 2 , devo encontrar um número M sempre que   x < N a distância entre f x e k é menor que 1 2 .

No nosso caso, devemos encontrar um M em que

f x - k = k - k < ϵ

Mas, k - k = 0 <   ϵ , então, podemos escolher o menor N > 0 possível. Pensando em número inteiro, podemos escolher N = 1 .

Então, agora é só por na definição

Resposta

Para qualquer ϵ > 0 , tome N=1. Então para todo

x < N = 1 ⇒ f x - k = k - k = 0 = 0 < ϵ

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