Encontre o limite.

underset(x -> oo)(lim) (1 + (a)/(x))^(b x)

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

underset(x -> oo)(lim) e x p ( l n (1 + (a)/(x))^(b x) )

Com isso podemos descer ali aquele expoente (1)/(x) .

Ficamos então com:

underset(x -> oo)(lim) e^(b x ln (1 + (a)/(x)))

O exponencial pode sair do limite ficando:

e^(underset(x -> oo)(lim) b x ln (1 + (a)/(x)))

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponencial, podemos reorganizar isso como:

underset(x -> oo)(lim) b x ln (1 + (a)/(x))

underset(x -> oo)(lim) (ln (1 + (a)/(x)))/((1)/(b x))

Agora caímos na indeterminação 0/0 onmde podemos aplica l’Hopital.

underset(x -> oo)(lim) (- (a)/(a x + x^2))/(- (1)/(b x^2))

underset(x -> oo)(lim) (a b x^2)/(a x + x^2)

Passo 3

Aplicando agora a regra de L’Hopital mais uma vez temos:

underset(x -> oo)(lim) (2 a b x)/(2 x + a)

E mais uma vez:

underset(x -> oo)(lim) (2 a b)/(2) = a b

Lembrando de reaplicar o exponencial temos:

Resposta

e^(a b)

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