Encontre o limite.

lim x → 1 ⁡ 2 - x t g π x 2

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

lim x → 1 ⁡ e x p ⁡ ( l n 2 - x t g π x 2 )

Com isso podemos descer ali aquele expoente t g π x 2 .

Ficamos então com:

lim x → 1 ⁡ e t g π x 2 ln ⁡ 2 - x

O exponencial pode sair do limite ficando:

e lim x → 1 ⁡ t g π x 2 ln ⁡ 2 - x

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponencial, podemos reorganizar isso como:

lim x → 1 ⁡ t g π x 2 ln ⁡ 2 - x

lim x → 1 ⁡ s e n π x 2 cos ⁡ π x 2 ln ⁡ 2 - x

lim x → 1 ⁡ s e n   π x 2 * lim x → 1 ⁡ ln ⁡ 2 - x cos ⁡ π x 2

No limite com o seno encontramos 1 como resultado, já o segundo limite conseguimos aplicar a regra de L’Hopital.

lim x → 1 ⁡ - 1 2 - x - π 2 s e n π x 2

lim x → 1 ⁡ - 2 π x - 2 s e n π x 2

Passo 3

Substituindo o valor do limite e trazendo o exponencial de volta ficamos com:

e lim x → 1 ⁡ t g π x 2 ln ⁡ 2 - x

e l i m x → 1 - 2 π x - 2 s e n π x 2

e - 2 π 1 - 2 s e n π 2 =

Resposta

e 2 π

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