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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 31

Encontre o limite.

underset(x -> 1)(lim) (2 - x)^(t g ((pi x)/(2)))

Passo 1

Primeiramente queremos que aquele grau ali desça, certo? Então aplicamos exponencial e ln para podermos usar de suas propriedades.

underset(x -> 1)(lim) e x p ( l n (2 - x)^(t g ((pi x)/(2))) )

Com isso podemos descer ali aquele expoente t g ((pi x)/(2)) .

Ficamos então com:

underset(x -> 1)(lim) e^(t g ((pi x)/(2)) ln (2 - x))

O exponencial pode sair do limite ficando:

e^(underset(x -> 1)(lim) t g ((pi x)/(2)) ln (2 - x))

Passo 2

Calculando o limite de dentro do exponencial, podemos reorganizar isso como:

underset(x -> 1)(lim) t g ((pi x)/(2)) ln (2 - x)

underset(x -> 1)(lim) (s e n ((pi x)/(2)))/(cos ((pi x)/(2))) ln (2 - x)

underset(x -> 1)(lim) s e n ((pi x)/(2)) * underset(x -> 1)(lim) (ln (2 - x))/(cos ((pi x)/(2)))

No limite com o seno encontramos 1 como resultado, já o segundo limite conseguimos aplicar a regra de L’Hopital.

underset(x -> 1)(lim) (- (1)/(2 - x))/(- (pi)/(2) s e n ((pi x)/(2)))

underset(x -> 1)(lim) (- 2)/(pi (x - 2) s e n ((pi x)/(2)))

Passo 3

Substituindo o valor do limite e trazendo o exponencial de volta ficamos com:

e^(underset(x -> 1)(lim) t g ((pi x)/(2)) ln (2 - x))

e^(underset(x -> 1)(l i m) (- 2)/(pi (x - 2) s e n ((pi x)/(2))))

e^(- (2)/(pi (1 - 2) s e n ((pi)/(2)))) =

Resposta

e^((2)/(pi))

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