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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 70

Suponha que as funções f e g sejam diferenciáveis em x = a e que f a = g a = 0 . Se g ' a ≠ 0 , mostre que

lim x → a ⁡ f x g x = f ' a g ' a

sem usar a regra de L’Hôpital. [Sugestão: Divida o numerador e o denominador de f x g x por x - a e use as definições de f ' a e de g ' a .]

Passo 1

Vamos lá, como temos que f a = g a = 0 podemos subtrair f a e g a no numerador e no denominador respectivamente, que não vai alterar o resultado:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x - f a g x - g a

Vamos agora dividir o numerador e o denominador de f x g x por x - a como foi sugerido:

lim x → a ⁡ f x - f a g x - g a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a g x - g a x - a

Passo 2

Pronto, agora temos das expressões que já conhecemos, a derivada pela definição de f ' a e de g ' a :

f ' a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

g ' a = lim x → a ⁡ g x - g a x - a

Vamos então substituir:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x - f a x - a g x - g a x - a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a lim x → a ⁡ g x - g a x - a = f ' a g ' a

Pronto, mostramos que lim x → a ⁡ f x g x = f ' a g ' a !!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x - 3 x
Encontre lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ 1 x sin ⁡ x , se existir
(a) Explique por que a regra de L’Hôpital não se aplica ao problema lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x (b) Encontre o limite
Seja f x = x 2 sin ⁡ 1 x .(a)Os limites lim x → 0 + ⁡ f ( x ) e lim x → 0 - ⁡ f ( x ) são formas indeterminadas?(b)Use um recurso computacional para gerar o gráfico de f e use o gráfico para fazer con