Suponha que as funções f e g sejam diferenciáveis em x = a e que f a = g a = 0 . Se g ' a ≠ 0 , mostre que lim x → a ⁡ f x g x = f ' a g ' a sem usar a regra de L’Hôpital. [Sugestão: Divida o numerador e o denominador de f x g x por x - a e use as definições de f ' a e de g ' a .]

Enunciado

Vamos lá, como temos que podemos subtrair e no numerador e no denominador respectivamente, que não vai alterar o resultado:

Vamos agora dividir o numerador e o denominador de por como foi sugerido:

Pronto, agora temos das expressões que já conhecemos, a derivada pela definição de e de :

Vamos então substituir:

Pronto, mostramos que !!

Ei, a resposta está no passo a passo :)