Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 58b
Há um mito que circula entre os que começam estudar Cálculo de que todas as formas indeterminadas dos tipos são iguais a , pois “qualquer coisa elevada a zero é ” e “ a qualquer potência é ”. O engano está em que não são potências de números, mas descrições de limites. Os seguintes exemplos, que foram sugeridos pelo Prof. Jack Staib, da Dexel University, mostram que tais formas indeterminadas podem assumir qualquer valor real positivo.
b)
Verifique esses resultados.
Passo 1
Então pessoal, a função que nos foi dada é a seguinte:
Aqui temos que pensar em maneiras de simplificar nossa função antes de calcularmos o limite sugerido! Sendo assim, vamos aplicar o em ambos os lados da equação, se liga:
De acordo com a propriedade de logaritmos:
Podemos fazer:
Então reescrevemos o limite que temos que calcular da seguinte forma:
Show!
Passo 2
Vamos substituir o valor do limite para ver se chegamos em algum resultado! Substituindo teremos:
Como deu indeterminação, então vamos utilizar a regra de L’Hôpital e derivar em cima e em baixo:
Aqui vale ressaltar que a derivada de é . Continuando:
E como o limite de uma constante é a própria constante:
Massa!
Passo 3
Agora que calculamos o limite do lado direito da igualdade, vamos voltar ao que queremos encontrar:
Pela propriedade de logaritmos, temos que:
Aplicando essa ideia no nosso limite, teremos:
Que é exatamente o resultado que queríamos demonstrar! 😉
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)