Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x  

Passo 1

E aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos apenas que calcular o limite

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x  

Parece complicado? 🤔

Nesse caso se aplicarmos o método de substituição, vamos cair em uma indeterminação - ∞ 0 .

Portanto é necessário aplicar algum método para calcular esse limite.

A principio, como temos uma indeterminação, podemos aplicar uma propriedade do limite dada por

lim ⁡ a b = lim ⁡ a · l i m ⁡ b

Bora lá! 😉

Passo 2

Nesse caso, a = ln ⁡ x e b = 1 x , ou seja

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x · lim x → 0 + ⁡ 1 x

Pelo método da aproximação, temos que

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

lim x → 0 + ⁡ 1 x = ∞

Portanto

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = - ∞ · ∞

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = - ∞

E aí! sacou? Responde Aí! 😐

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x   = - ∞

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