Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x x + ln ⁡ x

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

L = lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x x + ln ⁡ x = ∞ ∞

Essa indeterminação é um dos casos que pedem L’Hospital!

Passo 2

Aplicando a regra de L’Hospital, no numerador vamos ter que nos preocupar com a regra do produto.

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x x + ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ x × 1 x + 1 × ln ⁡ x 1 + 1 x

Arrumando,

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x x + ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ 1 + ln ⁡ x 1 + 1 x

Passo 3

Agora é só substituir: com o x indo pro infinito, o ln ⁡ x vai pro infinito, e o 1 x vai pra 0 .

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x x + ln ⁡ x = 1 + ∞ 1 + 0

E isso vai pro infinito!

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x x + ln ⁡ x = ∞

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ x x + ln ⁡ x = ∞

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