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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.14 - Ex. 37

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ s e n   a x ln ⁡ s e n   x

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

L = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ s e n   a x ln ⁡ s e n   x = ln ⁡ 0 ln ⁡ 0 = ∞ ∞

Esse cara tá PEDINDO pra gente usar L’Hospital!

Passo 2

Aplicando L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ s e n   a x ln ⁡ s e n   x = lim x → 0 + ⁡ 1 s e n   a x × cos ⁡ a x × a 1 s e n   x × cos ⁡ x

Ajeitando,

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ s e n   a x ln ⁡ s e n   x = a lim x → 0 + ⁡ s e n   x s e n   a x × lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ a x cos ⁡ x

O primeiro limite ainda precisa de mais um L’Hospital, já que ele continua 0 / 0 , enquanto isso o segundo já tá prontinho!

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ a x cos ⁡ x = cos ⁡ 0 cos ⁡ 0 = 1

lim x → 0 + ⁡ s e n   x s e n   a x = lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x a cos ⁡ a x = cos ⁡ 0 a cos ⁡ 0 = 1 a

Juntando tudo:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ s e n   a x ln ⁡ s e n   x = a × 1 a × 1

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ s e n   a x ln ⁡ s e n   x = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ s e n   a x ln ⁡ s e n   x = 1

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