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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.14 - Ex. 40

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 + ⁡ x 2 2 + ln ⁡ x

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

L = lim x → 0 + ⁡ x 2 2 + ln ⁡ x = 0 2 2 + l n 0 = 0 2 - ∞ = 0 0

Bom, esse é um limite que a gente claramente não sabe calcular, mas sabemos que quando aparecer expressões com essa cara, o macete é usar o nosso amigo, o número de Neper, e .

Passo 2

Pega a idéia:

L = lim x → 0 + ⁡ x 2 2 + ln ⁡ x

A gente pode reescrever qualquer número assim:

n = a b → n = e ln ⁡ a b

E pela regra do expoente:

n = e b ln ⁡ a

Fazendo aqui no limite:

L = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x 2 2 + ln ⁡ x

L = lim x → 0 + ⁡ e 2 2 + ln ⁡ x l n x

Como a base é constante, o limite só depende do expoente!

L = e lim x → 0 + ⁡ 2 2 + ln ⁡ x l n x

Passo 3

Beleza, então vamos calcular esse limite do expoente.

lim x → 0 + ⁡ 2 l n x 2 + ln ⁡ x

Se a gente substituir direto, vamos achar uma indeterminação, - ∞ - ∞ . Essa é uma das que a gente consegue eliminar usando L’Hospital!

lim x → 0 + ⁡ 2 l n x 2 + ln ⁡ x = 2 lim x → 0 + ⁡ 1 x 1 x = 2

Passo 4

Beleza, esse é o limite do expoente. Então o limite todo dá:

L = e lim x → 0 + ⁡ 2 2 + ln ⁡ x l n x

L = e 2

Resposta

e lim x → 0 + ⁡ 2 2 + ln ⁡ x l n x = 2

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