Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ x t an - 1 ⁡ 4 x

Passo 1

Faaaaaaaaaala moçadinhaaaa, bora láaa

Para encontrar o limite

lim x → 0 ⁡ x t an - 1 ⁡ 4 x

vamos primeiro analisar a forma do limite à medida que x → 0 .

Observamos que tanto o numerador x quanto o denominador tan - 1 ⁡ ( 4 x ) tendem a 0 .

Portanto, estamos lidando com a forma 0 / 0 , o que sugere que a regra de L'Hôpital pode ser aplicada.

A regra de L'Hôpital nos diz para tomar as derivadas do numerador e do denominador:

lim x → 0 ⁡ x tan - 1 ⁡ 4 x

lim x → 0 ⁡ d d x x d d x tan - 1 ⁡ 4 x

Passo 2

Calculamos as derivadas:

- A derivada de x   é 1 .

- A derivada de tan - 1 ⁡ 4 x é

d d x tan - 1 ⁡ 4 x

= 4 1 + 4 x 2

= 4 1 + 16 x 2

Portanto, aplicando a regra de L'Hôpital, temos:

lim x → 0 ⁡ x tan - 1 ⁡ 4 x

lim x → 0 ⁡ 1 4 1 + 16 x 2

lim x → 0 ⁡ 1 + 16 x 2 4

Passo 3

À medida que x → 0 , a expressão ( 1   +   16 x 2 ) tende a 1 , então:

lim x → 0 ⁡ 1 + 16 x 2 4

= 1 + 16 ⋅ ( 0 ) 2 4

= 1 4

Portanto, o limite é:

lim x → 0 ⁡ x tan - 1 ⁡ 4 x = 1 4

A aplicação da regra de L'Hôpital foi apropriada aqui e nos levou ao resultado final de forma clara e direta.

Resposta

lim x → 0 ⁡ x t an - 1 ⁡ 4 x = 1 4

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