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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1s

Calcule

s) underset(x -> 0^+)(lim) x^(tg x^2)

Passo 1

O limite da forma que está escrito está com a indeterminação 0^0 . A gente já aprendeu como foge dessas, né? Vamos fazer assim, ó: um número a^b pode ser reescrito dessa forma:

a^b = e^(l n a^b) = e^(b l n (a))

E aí podemos reescrever o limite assim:

underset(x -> 0^+)(lim) x^(tg x^2) = underset(x -> 0^+)(lim) e^(ln x^(tg x^2)) = underset(x -> 0^+)(lim) e^(tg x^2 ln x) = e^((underset(x -> 0^+)(lim) tg x^2 ln x))

Passo 2

Agora, veja que:

underset(x -> 0^+)(lim) tg x^2 ln x = underset(x -> 0^+)(lim) (ln x)/(cotg x^2) -> (- oo)/(+ oo)

Como temos esse tipo de indeterminação, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador, lembrando que (cotg x)^' = - cossec^2 x :

underset(x -> 0^+)(lim) (ln x)/(cotg x^2) = underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x))/(- 2 x cossec^2 x^2) = underset(x -> 0^+)(lim) - (sen^2 x^2)/(2 x^2)

Passo 3

Para terminar a resolução do limite, vamos lembrar do limite fundamental, onde:

underset(x -> 0^+)(lim) (sen x)/(x) = 1

E com uma mudança de variável, concluímos que:

underset(x -> 0^+)(lim) (sen x^2)/(x^2) = 1

Assim, o limite será:

underset(x -> 0^+)(lim) - (sen^2 x^2)/(2 x^2) = (underset(x -> 0^+)(lim) (sen x^2)/(x^2)) (underset(x -> 0^+)(lim) - (sen x^2)/(2)) = 1 * 0 = 0

Logo,

underset(x -> 0^+)(lim) x^(tg x^2) = e^((underset(x -> 0^+)(lim) tg x^2 ln x)) = e^0 = 1

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) x^(tg x^2) = 1

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