Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 4

Sejam e . Verifique que , e que não existe. Há alguma contradição com a regra de L’Hospital?

Passo 1

Vamos lá, vamos primeiro calcular o limite de usando o Teorema do Confronto:

Como temos a função seno na nossa expressão, podemos começar dizendo que a função seno se limita entre os valores , assim:

Agora vamos multiplicar tudo de expressão por , deixando a função igual a do limite:

Pronto, agora nós temos uma das condições do Teorema do Confronto:

Vamos agora testar a próxima condição, se:

Fica bem mais fácil encontrar esses limites que o limite de , se esses dois limites forem iguais, pelo Teorema do Confronto o limite da função de também é igual a esse valor encontrado.

Passo 2

Com o primeiro limite temos que:

Com o segundo:

Assim, temos que os dois limites são iguais e tem valor :

Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

Passo 3

Já para o limite temos:

Vamos calcular agora :

Vamos aplicar novamente o Teorema do Confronto, com a diferença aqui que vamos multiplicar por as expressões:

Vamos agora testar se:

Com o primeiro vemos que:

E com o segundo:

Assim, temos que os dois limites são iguais:

Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

Passo 4

E agora por último calculando , vamos calcular e :

Substituindo no limite temos:

Esse limite não existe, pois, as funções seno e cosseno são limitadas os valores entre e , ao aplicar o limite com , teríamos seno e cosseno de um valor infinito, o que não faz sentido, pois nunca resultariam em valores dentro desse intervalo.

Não há alguma contradição com a regra de L’Hospital, pois ela diz que se existe então existirá , mas não o contrário, não é uma relação de se somente se.

Resposta