Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 4
Sejam e . Verifique que , e que não existe. Há alguma contradição com a regra de L’Hospital?
Passo 1
Vamos lá, vamos primeiro calcular o limite de usando o Teorema do Confronto:
Como temos a função seno na nossa expressão, podemos começar dizendo que a função seno se limita entre os valores , assim:
Agora vamos multiplicar tudo de expressão por , deixando a função igual a do limite:
Pronto, agora nós temos uma das condições do Teorema do Confronto:
Vamos agora testar a próxima condição, se:
Fica bem mais fácil encontrar esses limites que o limite de , se esses dois limites forem iguais, pelo Teorema do Confronto o limite da função de também é igual a esse valor encontrado.
Passo 2
Com o primeiro limite temos que:
Com o segundo:
Assim, temos que os dois limites são iguais e tem valor :
Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:
Passo 3
Já para o limite temos:
Vamos calcular agora :
Vamos aplicar novamente o Teorema do Confronto, com a diferença aqui que vamos multiplicar por as expressões:
Vamos agora testar se:
Com o primeiro vemos que:
E com o segundo:
Assim, temos que os dois limites são iguais:
Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:
Passo 4
E agora por último calculando , vamos calcular e :
Substituindo no limite temos:
Esse limite não existe, pois, as funções seno e cosseno são limitadas os valores entre e , ao aplicar o limite com , teríamos seno e cosseno de um valor infinito, o que não faz sentido, pois nunca resultariam em valores dentro desse intervalo.
Não há alguma contradição com a regra de L’Hospital, pois ela diz que se existe então existirá , mas não o contrário, não é uma relação de se somente se.
Resposta
Não há alguma contradição com a regra de L’Hospital, pois ela diz que se existe então existirá , mas não o contrário, não é uma relação de se somente se.