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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 51

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x

Passo 1

Fala meus queridos!

Nessa questão queremos encontrar o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x

E aqui podemos usar a regra de L’hospital que diz que se tivermos uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou ± ∞ / ± ∞ , basta derivarmos em cima e embaixo até sairmos da indeterminação.

Passo 2

Quando x → 1 , x x - 1 → ± ∞ e 1 ln ⁡ x → ± ∞ , assim temos uma identerminação do tipo ∞ - ∞ .

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x = 1 0 - 1 0 = ± ∞ - ± ∞

Não podemos aplicar a regra de L’Hospital para esse caso, então devemos trabalhar para mudar o tipo da indeterminação.

Fazendo o mmc entre x - 1 e ln ⁡ x , podemos reescrever o limite como

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x - x - 1 x - 1 ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x - x + 1 x - 1 ln ⁡ x

Quando x → 1 , x ln ⁡ x - x + 1 → 0 x - 1 ln ⁡ x → 0 , então agora temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra!!!

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x - x + 1 x - 1 ln ⁡ x = 1 0 - 1 + 1 1 - 1 0 = 0 0

Passo 3

Aplicando a regra, vamos derivar separadamente o numerador e o denominador.

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x - x + 1 x - 1 ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x + x ⋅ 1 x - 1 ln ⁡ x + x - 1 ⋅ 1 x

= lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x + ( x - 1 ) / x

E substituindo o valor do limite, temos:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x + x - 1 x = 0 0 + 0 1 = 0 0

Novamente temos uma identerminação do tipo 0/0.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hospital novamente, vamos derivar em cima e embaixo separadamente:

lim x → 1 ⁡ x ln ⁡ x x ln ⁡ x + x - 1 = lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x + x 1 x ln ⁡ x + x 1 x + 1

= lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x + 2

Sendo assim , quando x → 1 , temos que :

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x + 2 = ln ⁡ 1 + 1 ln ⁡ 1 + 2 = 1 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln ⁡ x = 1 2

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