Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 82
Um cabo de metal tem raio e é coberto por isolante, de modo que a distância do centro do cabo ao exterior do isolante é . A velocidade de um impulso elétrico no cabo é
em que é uma constante positiva. Encontre os seguintes limites e interprete suas respostas.
a)
b)
Passo 1
Selvaaaaaaaaaa galerinha, isso mesmo selva haha, tudo certinho??
“Hulk esmaga”, Bora esmagar essa questãozinha comigo?
A questão nos dá uma fórmula para a velocidade de um impulso elétrico em um cabo de metal revestido por isolante.
A fórmula é:
onde:
- é o raio do cabo de metal.
- é a distância do centro do cabo até o exterior do isolante.
- é uma constante positiva.
A questão pede para encontrar dois limites:
a)
b)
Mas o que podemos fazer e como fazer para chegar no que a questão pede?
Para encontrar os limites, precisamos entender o comportamento da função conforme as variáveis tendem a certos valores.
Vamos usar as seguintes teorias e fórmulas de limites:
Limite quando se aproxima de pelo lado direito
- Analisamos o comportamento da função quando está muito próximo, mas maior que
Limite quando se aproxima de pelo lado direito
- Analisamos o comportamento da função quando é um valor positivo muito pequeno.
Para isso, precisamos usar propriedades de logaritmos e limites de funções.
Passo 2
E o que podemos fazer para relacionar o que foi dado com o que está pedindo?
Seguinteee....
Vamos reescrever a função para facilitar a análise dos limites:
a)
Primeiro, substituímos por uma variável nova para simplificar:
Deixe
Quando então (pois e é ligeiramente menor que ).
Reescrevemos a função em termos de
Queremos encontrar:
Passo 3
Sabemos que
Vamos analisar o comportamento de quando
-
- mas quando
Portanto:
Agora calculamos o limite:
Assim:
Passo 4
b)
Agora, analisamos o comportamento quando
Substituímos por para simplificar, onde
Quando
Reescrevemos a função em termos de
Queremos encontrar:
Analisamos o comportamento de quando
-
- porque o logaritmo natural de um número muito pequeno é um grande número negativo.
Passo 5
Vamos examinar a expressão:
Quando decresce mais rapidamente que diverge.
Multiplicando, a expressão:
Assim:
Portanto:
Passo 6
Conclusão
- O limite da velocidade quando se aproxima de pelo lado direito é
- O limite da velocidade quando se aproxima de pelo lado direito também é 0.
Esses resultados indicam que, tanto quando a espessura do isolante se torna muito pequena quanto quando o raio do cabo se aproxima de zero, a velocidade do impulso elétrico tende a zero.
“OK, isso foi legal.”
Resposta
Resposta no passo 5.