Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 52
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para que a gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Antes de tudo, vamos tomar o limite e ver o que ocorre.
Aplicando diretamente a tendência do na função, teremos:
Opa!
Temos um limite indeterminado, porém ele não é do tipo L’Hospital.
Para que fosse, nosso limite deveria ter caído em uma indeterminação na forma 0/0 ou /.
Sendo assim, vamos tentar fazer algumas modificações algébrica em nossa função pra ver se conseguimos um limite na forma correta para usar o L’Hospital.
Passo 3
Podemos começar fazendo algumas mudanças.
Lembrando que , podemos escrever nosso limite na forma:
E tirando o mmc entre os denominadores, ficaremos com:
Se agora aplicarmo a tendência de novamente, teremos:
O limite é indeterminado da forma 0/0, de modo que a regra de L’Hospital é aplicável!!!
Passo 4
Lembrando que, como:
Podemos fazer:
Aplicando a regra, a nossa função devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador, assim:
Se torna:
E ajustando um pouco melhor, ficamos com:
Mas se calcularmos, o limite segue indeterminado do tipo 0/0.
Passo 5
Aplicando a regra novamente, derivando em cima e embaixo pela segunda vez:
E agora aplicando a tendência de a zero, ficamos com:
E finalemente, não caímos em indeterminação, então temos nossa resposta.