Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 35
Prove a regra de Cauchy.
Passo 1
Certo, primeiro vamos mostrar que uma g(b) seja diferente de g(a). Primeiro suponhamos g(b) = g(a). Como g satisfaz as duas condições da hipótese do teorema do valor médio, existe algum número c em (a,b) tal que g’(c) = [g(b) – g(a)]/(b-a). Mas a condição (iii) da hipótese desse teorema estabelece que para todo x em (a,b), g’(x) é diferente de 0. Há portanto uma contradição. Logo, a hipótese de que g(b) = g(a) é falsa. Assim g(b) é diferente de g(a) e, consequentemente, g(b) – g(a) é diferente de 0.
Passo 2
Consideremos agora a função h definida por:
Logo
Portanto:
Passo 3
Dessa forma, a função h satisfaz as três condições do teorema de Rolle. Logo, existe um númeo z aberto (a,b) tal que h’(z) =0. Assim:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)