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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 29

Calcule a integral

int tan^3 (x) s e c ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

int tan^3 (x) s e c ( x ) d x = int tan^2 (x) s e c ( x ) t a n ( x ) d x

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan^2 ( x ) + 1 = sec^2 ( x )

Então, substituindo

int tan^2 (x) s e c ( x ) t a n ( x ) d x = int (sec^2 (x) - 1) s e c ( x ) t a n ( x )

Agora, podemos resolver por meio da substituição

Seja u = s e c ( x ) , então d u = sec (x) tan (x) d x , então, substituindo

int (sec^2 (x) - 1) s e c ( x ) t a n ( x ) = int (u^2 - 1) d u

int (u^2 - 1) d u = (1)/(3) u^3 - u + c = (1)/(3) sec^3 (x) - sec (x) + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int tan^3 (x) s e c ( x ) d x = (1)/(3) sec^3 (x) - sec (x) + c

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