Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.8 - Ex. 2
Um habitante comum do intestino humano e a bactéria Escherichia coli. Uma célula desta bactéria em um meio nutriente líquido se divide em duas células a cada minutos. A população inicial de cultura é de celulas.
(a) Encontre a taxa de crescimento relativa.
(b) Encontre uma expressão para o número de células depois de horas.
(c) Encontre o número de células depois de horas.
(d) Encontre a taxa de crescimento depois de horas.
(e) Quando a população atingirá células?
Passo 1
E aí, vamo que vamo! )
Nesse enunciado temos um problema com taxa de crescimento relativa, uma célula da bactéria Escherichia coli se divide em duas a cada minutos e a sua população inicial é de células.
A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar a taxa de crescimento relativa. Se chamarmos a população de bactérias em função do tempo () em horas e ,sendo a taxa de crescimento relativa temos:
Ou também pode ser escrita como:
Pelo Teorema 2, toda vez que nos deparamos com uma função do tipo devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:
Passo 2
Agora precisamos identificar as variáveis do problema:
Como o valor inicial da população é de bactérias:
Sabemos que a cada 20 minutos, a população dobra, ou seja, a população de indivíduos vira nos primeiros 20 minutos que é de hora, então:
Podemos elevar ambos os membros da equação ao cubo:
Aplicando o logaritmo natural temos:
Como :
Logo, taxa de crescimento relativa corresponde a .
Passo 3
Na letra (b) vamos escrever uma função para o número de células depois de horas. Para isso basta apenas aplicar os dados obtidos:
Como , e , então:
Logo, a função que representa a população de bactérias é: .
Passo 4
(c) Para encontrar o número de células depois de horas é só achar
.
Passo 5
(d) Para encontrar a taxa de crescimento depois de horas precisamos derivar a função obtida e resolver para :
.
Passo 6
(e) A população chega a células quando , então:
Prontinho!!!
Resposta
(a) .
(b) .
(c) bactérias.
(d) bactérias por hora.
(e) horas.