Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, considere utiliza-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 1 ⁡ x a - a x + a - 1 x - 1 2

Passo 1

Fala meus queridos!

Nessa questão queremos encontrar o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ x a - a x + a - 1 x - 1 2

E aqui podemos usar a regra de L’hospital que diz que se tivermos uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou ± ∞ / ± ∞ , basta derivarmos em cima e embaixo até sairmos da indeterminação.

Passo 2

Devemos primeiro verificar se o limite é indeterminado, susbituindo x por 1 temos que

lim x → 1 ⁡ x a - a x + a - 1 x - 1 2 = 1 a - a + a - 1 1 - 1 2

E 1 elevado a qualquer número é igual a 1 , portanto:

1 - a + a - 1 0 2 = 0 0

Assim , o limite é indeterminado do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital, vamos derivar separadamente em cima e embaixo:

lim x → 1 ⁡ x a - a x + a - 1 x - 1 2 = lim x → 1 ⁡ a x a - 1 - a 2 x - 1 1 = lim x → 1 ⁡ a x a - 1 - a 2 x - 2

E substituindo o valor do limite, temos:

lim x → 1 ⁡ a x a - 1 - a 2 x - 2 = a 1 a - 1 - a 2 1 - 2 = a - a 2 - 2 = 0 0

Ainda temos a indeterminação 0 / 0 , dessa forma, vamos aplicar L’Hôspital novamente.

Passo 4

Chegamos na forma:

lim x → 1 ⁡ a x a - 1 - a 2 x - 2

Aplicando L’hôspital, temos:

lim x → 1 ⁡ a x a - 1 - a 2 x - 2 = lim x → 1 ⁡ a a - 1 x a - 2 - 1 2

Substituindo o valor do limite, temos:

lim x → 1 ⁡ a a - 1 x a - 2 - 1 2 = a a - 1 1 a - 2 - 1 2

Que resulta em:

a a - 1 ( 1 ) - 1 2 = a 2 - a - 1 2

Portanto, o resultado do limite dado é:

lim x → 1 ⁡ x a - a x + a - 1 x - 1 2 = a 2 - a - 1 2

Resposta

a 2 - a - 1 2

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