Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 39
Prove que para x suficientemente grande, calculando:
Passo 1
Bem, galera, como a questão nos diz que teremos um x suficientemente grande, podemos assegurar que , o que garante que podemos fazer manipulações algébricas com esse bendito x.
Logo, se:
Sabendo que e são funções contínuas e positivas, é válido dizer que:
Passo 2
Como queremos um x suficientemente grande, iremos fazer e esse quociente deve ser menor que 1, como provado anteriormente:
Para resolver esse limite, como teremos uma indeterminação do tipo , precisaremos recorrer ao Teorema de L’Hôpital que nos assegura que:
Ao passo que:
Teremos que:
Entretanto, é percebemos que continuaremos com a indeterminação!!!
Ao mesmo tempo, percebemos intuitivamente que precisaremos eliminar a incógnita x do dividendo, para isso, usaremos o recurso do teorema de L’Hôpital até n vezes necessárias.
Temos que:
...
Atenção 1:
Atenção 2:
Analogamente, temos que:
...
Portanto:
Como sabemos, a função é crescente para todo x real e positivo, logo
Passo 3
Como o enunciado nos pede, conseguimos encontrar um valor para o limite dado e esse valor coincide com o intervalo necessário para que seja menor que para x suficientemente grande.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)