Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 34

Prove a regra de L’Hôpital.

Passo 1

Certo, sabemos que pela regra de L’Hôpital, se temos uma função f(x), que existe em um ponto a, e que a derivada dessa função também existe em a. Sabemos também que existe uma função g(x), que exite em um pontoi a e que a deriada dessas função também existe em a. Logo,

Passo 2

Mas como podemos provar isso, né galera? Vamos lá! Sabemos pela definição de derivadas:

Então se isso funciona, vamos fazer o mesmo para a nossa g(x):

Logo, podemos afirmar que:

Passo 3

Tá, isso tá feio... mas jájá vamos embelezar a nossa equação! Primeiro vamos tomar esses limites como um só:

Multiplicando e dividindo por “x-a” :

Mas, dizemos la no começo que f(a) e g(a) tendem a 0, logo provando:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ t an h ⁡ x t a

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → π / 4 ⁡ 1 - t gx s

Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôspital não se aplicar, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ xs