Prove o teorema 11.1.4 para x -> -infinito

Passo 1

Pelas definições de limite lateral, pode-se mostrar as seguintes coisas:

lim x → - ∞ ⁡ f x = M e lim x → 0 - ⁡ F t = M

Têm o mesmo significado. Como, por hipótese, lim x → - ∞ ⁡ f x = 0   e lim x → - ∞ ⁡ g x = 0 , podemos concluir que

lim x → 0 - ⁡ F t = 0 e lim x → 0 - ⁡ G ( t ) = 0

Passo 2

Considerando o quociente F’(t)/G’(t), temos, usando a regra da cadeia:

F ' t G ' t = - 1 t 2 f ' 1 t - 1 t 2 g ' 1 t

F ' t G ' t = f ' 1 t g ' 1 t = f ' x g ' x

Como por hipótese, lim x → 0 - ⁡ f ' x g ' ( x )   = L , do que está acima segue que:

lim x → 0 - ⁡ F ' t G ' t = L  

Passo 3

Como para todo x>N, g’(x) é diferente de 0, G’(t) é diferente de 0 para todo 0

lim x → 0 - ⁡ F t G t = L  

e

lim x → 0 - ⁡ f x g x = L  

Temos que:

lim x → - ∞ ⁡ f x g x = L  

Logo o teorema está PROVADO!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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