Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 62
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que utilizemos a Regra de L'Hôspital para encontar o seguinte limite:
Caso não seja aplicável, devemos utilizar outro método.
Lembrando que a regra de L'Hôpital é um método para calcular limites indeterminados de funções que podem resultar em formas do tipo ou .
Consiste em derivar o numerador e o denominador separadamente quando o limite é indeterminado e avaliar novamente o limite.
Se o novo limite ainda for indeterminado, repete-se o processo até que o limite possa ser determinado.
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Para esse limite, temos uma indeterminação do tipo . Assim, vamos usar o fato para alterar um pouco o limite:
Assim, o limite que realmente importa para você é
Este limite é indeterminado do tipo : podemos aplicar a regra de L’Hospital para calculá-lo.
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hospital:
*A derivada de foi calculada usando a regra da cadeia:
Então, o limite que precisamos calcular agora é
Note que este limite também é uma indeterminação o tipo . Aplicando a regra de L’Hospital de novo:
Passo 4
Essa é hora que você começa a ficar irritado: o limite segue indeterminado do tipo : sim, você vai aplicar a regra de L’Hospital mais uma vez (prometo que será a última):
Assim,