Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 85
Se for contínua, e , calcule
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, esse exercício pede para gente calcular esse limite aqui:
E sabemos que se for contínua, e .
Então, a ideia aqui é usarmos essas informações para calcular o limite. Mas caso caiamos em alguma indeterminação, poderemos usar a regra do L’Hospital.
Vamos relembrar essa regra.
A regra diz que, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Veja o que acontece se fizermos a substituição diretamente no limite.
O que nos dará:
E como o nunciado disse, , e nosso limite da´ra:
E temos uma indeterminação do tipo , logo podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!
Passo 3
Lembrando que, como:
Podemos fazer:
Aplicando a regra em nossa função, devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador, assim:
A derivada do numerador será
Já a derivada do denominador é . Assim, usando a regra:
Se transforma em:
E calculando novamente esse limite, ficamos com:
Como , segue que
E temos nossa resposta.