Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 66
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
E aoi galerinha a questão pede para calcularmos o limite usando a regra de L’Hospital se for possível.
Devemos então verificar se o limite é indeterminado e ver se a indeterminação é do tipo que admite a aplicação da regra.
Para encontrar o limite
Podemos tentar métodos mais elementares antes de considerar a regra de L'Hospital.
Primeiro, vamos analisar o comportamento do expoente à
medida que se aproxima
Passo 2
Quando
Sabemos que :
tende ao infinito, então:
O comportamento de quando é:
Então, a expressão
assume a forma que é uma forma indeterminada. Para resolver essa indeterminação, podemos usar logaritmos.
Passo 3
Definimos:
Tomamos o logaritmo natural de
Usando a regra do peteleco:
Então temos que:
Podemos reescrever a função:
Agora sim, substituindo:
Agora, analisamos o limite da expressão
Substituímos de modo que quando
Então a expressão se torna:
Passo 4
Reescrevendo o ângulo em termos de
Sabemos que então:
Portanto:
Para muito pequeno,
então:
Passo 5
Agora analisamos o limite:
Vamos resolver este limite usando a substituição então quando
O limite se transforma em:
Sabemos que
porque tende a zero quando , então:
Portanto:
Logo:
Assim, o limite é:
Resposta
Vide a explicação.