Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 53
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede para que calculemos o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital.
É importante lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou /.
Para encontrar o limite
Vamos analisar a expressão e determinar a melhor abordagem para resolver o problema.
Primeiro, reescrevemos a expressão usando propriedades dos logaritmos para facilitar a análise. Note que pode ser reescrito como:
Portanto, precisamos encontrar o limite do expoente quando
Se pudermos determinar o limite de à medida que , podemos usar esse resultado para determinar o limite de
Passo 2
Vamos analisar o limite:
Note que quando , e .
Portanto, estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo .
Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora temos uma forma , que é adequada para a aplicação da regra de L'Hôpital.
Passo 3
Aplicamos a regra de L'Hôpital, que nos diz para tomar as derivadas do numerador e do denominador:
Calculamos as derivadas:
- A derivada de é .
- A derivada de é
Portanto, temos:
À medida que
Portanto, temos:
Passo 4
Agora que sabemos que:
podemos usar este resultado para determinar o limite original:
Portanto, o limite é:
A aplicação da regra de L'Hôpital foi apropriada para encontrar o limite do expoente e a reescrita da expressão usando propriedades dos logaritmos nos levou ao resultado final de forma clara e direta.