Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 50
Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dado o limite
E nosso objetivo é calcular esse limite aplicando a regra de L’Hopital ou por algum método de simplificação.
Tem ideia de como fazemos isso?
A regra de L’Hopital é aplicada quando temos que calcular o limite de uma fração e pelo método de substituição caímos em uma indeterminação ou ...
A regra de L’Hopital consiste em derivar o numerador e o denominador repetidas vezes até eliminarmos a indeterminação do limite...
Mas lembre! Só podemos aplicar a regra de L’Hopital quando temos uma indeterminação...
Veja só!
Passo 2
Vamos aplicar o limite para ver se já tá na cara de l’Hospital, para a gente poder usar, ou se não, a gente fazer a mudança necessária, beleza?
Quando tende a pela esquerda, o termo tende a e o termo tende a , ou seja
Não podemos aplicar L’Hospital, pois ele só é usado em indeterminações da forma ou
Então temos que fazer alguma manipulação na função.
Pra isso, temos que lembrar que
Aplicando essa relação no limite, temos
Agora sim, quando tende a pela esquerda, e tendem a , então caímos em uma indeterminação
Agora podemos aplicar L’Hopital.
Bora lá!
Passo 3
Derivando o numerador e o denominador, temos
Pela regra da cadeia, a derivada de é dada por
Substituindo no limite...
Simplificando...
Agora, quando tende a pela esquerda, e tendem a , então aplicando o limite, chegamos em
E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!