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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 13

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 0^+)(lim) (x)^(sin x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0^0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0^+)(lim) ln (x)^(sin x)) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) sin x * ln (x))

Passo 2

Agora temos underset(x -> 0^+)(lim) sin x * ln (x) que se trata de uma indeterminação 0 * oo , assim vamos aplicar outra manipulação, vamos inverter duas vezes sin x .

underset(x -> 0^+)(lim) (ln (x))/(1 // sin x) = underset(x -> 0^+)(lim) (ln (x))/(csc x)

Passo 3

Aplicando L’Hôpital no limite temos e fazendo algumas manipulações temos

underset(x -> 0^+)(lim) - ((1)/(x))/(csc x cot x) = underset(x -> 0^+)(lim) - ((1)/(x))/((cos x)/(sin^2 x)) = underset(x -> 0^+)(lim) - (sin^2 x)/(x cos x)

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação (0)/(0) aplicaremos L’Hôpital novamente.

underset(x -> 0^+)(lim) - (sin^2 x)/(x cos x) = underset(x -> 0^+)(lim) - (2 sin x cos x)/(cos x + x sin x) = 0

underset(x -> 0^+)(lim) (x)^(sin x) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) sin x * ln (x)) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) - (2 sin x cos x)/(cos x + x sin x)) = e^0 = 1

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) (x)^(sin x) = 1

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