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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 27

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 0)(lim) [(cos x) e^((x^2)/(2))]^((4)/(x^4))

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1^(oo) , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0)(lim) [ln (cos (x) e^((x^2)/(2)))]^((4)/(x^4))) = e^(underset(x -> 0)(lim) (4)/(x^4) ln (cos (x) e^((x^2)/(2))))

Passo 2

Agora temos underset(x -> 0)(lim) (4)/(x^4) ln (cos x) e^((x^2)/(2)) e aplicando L’Hôpital no limite temos

underset(x -> 0)(lim) (4)/(x^4) ln (cos (x) e^((x^2)/(2))) = underset(x -> 0)(lim) (((1)/(cos (x) e^((x^2)/(2)))) x e^((x^2)/(2)) cos x - sin x)/(x^3) = underset(x -> 0)(lim) (x cos x - sin x)/(x^3 cos x)

Passo 3

Aplicando algumas manipulações e propriedades de limites para então L’Hôpital novamente no limite por ainda termos a indeterminação (0)/(0) .

underset(x -> 0)(lim) (x cos x - sin x)/(x^3 cos x) = underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos x) underset(x -> 0)(lim) (x cos x - sin x)/(x^3) = (1) underset(x -> 0)(lim) (x cos x - sin x)/(x^3)

underset(x -> 0)(lim) (x cos x - sin x)/(x^3) = underset(x -> 0)(lim) (cos x - cos x - x sin x)/(3 x^2) = underset(x -> 0)(lim) (- sin x)/(3 x)

Passo 4

Resolvendo o limite temos.

underset(x -> 0)(lim) (- sin x)/(3 x) = - (1)/(3)

underset(x -> 0)(lim) [(cos x) e^((x^2)/(2))]^((4)/(x^4)) = e^(underset(x -> 0)(lim) (4)/(x^4) ln (cos (x) e^((x^2)/(2)))) = e^(underset(x -> 0)(lim) (- sin x)/(3 x)) = e^(- (1)/(3))

Resposta

underset(x -> 0)(lim) [(cos x) e^((x^2)/(2))]^((4)/(x^4)) = e^(- (1)/(3))

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