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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 25

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 0)(lim) (1 + sinh x)^((2)/(x))

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1^(oo) , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0)(lim) ln (1 + sinh x)^((2)/(x))) = e^(underset(x -> 0)(lim (2)/(x)) ln (1 + sinh x))

Passo 2

Agora temos underset(x -> 0)(lim (2)/(x)) ln (1 + sinh x) e aplicando L’Hôpital temos

underset(x -> 0)(lim (2)/(x)) ln (1 + sinh x) = 2 underset(x -> 0)(lim) (cosh x)/(1 + sinh x)

Passo 3

Resolvendo o limite temos.

2 underset(x -> 0)(lim) (cosh x)/(1 + sinh x) = 2

underset(x -> 0)(lim) (1 + sinh x)^((2)/(x)) = e^( underset(x -> 0)(lim (2)/(x)) ln (1 + sinh x)) = e^(2 underset(x -> 0)(lim) (cosh x)/(1 + sinh x)) = e^2

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (1 + sinh x)^((2)/(x)) = e^2

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